Question

3．（1）先求出下列各组数据的平均数和方差；
①1，2，3，4，5，6，7，8，9；
②11，12，13，14，15，16，17，18，19，；
③10，20，30，40，50，60，70，80，90．
（2）根据上面的计算结果，你能发现什么规律，按你的发现填写下表：

数     据	平均数	方差
x1，x2，…，xn	$\overline{X}$	S2
x1+a，x2+a，…，xn+a	$\overline{x}$+a	S2
mx1，mx2，…，mxn	m$\overline{x}$	m2S2

Answer 1

分析 （1）先把这组数据的9个数字加起来求和，再除以9即可求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]求解即可；
（2）根据上面的计算结果，得到的规律是一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；一组数据中的每一个数都变为原数的n倍，平均数变为原数的n倍，它的方差变为原数据的n²倍，然后根据的规律去解题．

解答 解：（1）①（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷9=45÷9=5，S²=$\frac{1}{9}$×（16+9+4+1+1+4+9+16）=$\frac{1}{9}$×60=$\frac{20}{3}$；
②（11+12+13+14+15+16+17+18+19）÷9=135÷9=15，S²=$\frac{1}{9}$×（16+9+4+1+1+4+9+16）=$\frac{1}{9}$×60=$\frac{20}{3}$；
③（10+20+30+40+50+60+70+80+90）÷9=450÷9=50，S²=$\frac{1}{9}$×（1600+900+400+100+100+400+900+1600）=$\frac{1}{9}$×6000=$\frac{2000}{3}$；
（2）规律：一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数，方差不变，一组数据中的每一个数都变为原数的n倍，它的平均数变为原数的n倍，它的方差变为原数据的n²倍；
∵x₁，x₂，…，x_n这组数据的平均数是$\overline{x}$，方差是S²，
∴x₁+a，x₂+a，…，x_n+a这组数据的平均数是$\overline{x}$+a，方差是S²，
mx₁，mx₂，…，mx_n这组数据的平均数是m$\overline{x}$，方差是m²S²，
故答案为：$\overline{x}$+a，S²，m$\overline{x}$，m²S²．

点评 本题考查了方差，算术平均数，熟记方差公式是解题的关键．