Question

如图所示，AB是⊙O直径，BD是⊙O的切线，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，且∠A=∠D．
（1）求∠A的度数；
（2）若CE=5，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）∵BD是⊙O的切线，AB是⊙O直径，
∴∠OBD=90°，
∴∠D+∠DOB=90°，
∵AO=OE，
∴∠A=∠AEO，
∴∠DOB=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°；
（2）连接BE，
∵OD⊥弦BC于点F，
∴弧CE=弧BE，
∴CE=BE=5，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠A=30°，
∴AB=2BE=10，
∴⊙O的半径为5．
分析：（1）有切线的性质可得∠OBD=90°，再有三角形的外角和定理可得：∠ODB=2∠A，所以在△OBD中，3∠A=90°，进而求出∠A的度数；
（2）连接BE，利用垂径定理可得CE=BE，在直角三角形AEB中，利用30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可求出AB的长，进而求出⊙O的半径．
点评：本题考查了切线的性质定理，垂径定理以及圆周角定理和直角三角形的性质，题目的综合性不小，但难度不大．