Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠C=60°，
（1）求AD：BC；
（2）若AD=2cm，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1根据平行线的性质推出∠ABD=∠DBC，得到∠ADB=∠ABD，求出AB=CD=AD，根据三角形的内角和定理求出∠BDC=90°，根据直角三角形性质求出即可；
（2）过D作DH⊥BC于H，过A作AE⊥BC于E，证平行四边形AEHD，推出AE=DH，证Rt△AEB≌Rt△DHC，推出BE=CH，求出DH，根据梯形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB=CD，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2CD=2AD，
∴AD：BC=1：2，
答：AD：BC=1：2．

（2）过D作DH⊥BC于H，过A作AE⊥BC于E，
∵AD∥BC，DH⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥DH，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴AE=DH，
∵AB=CD，
∴Rt△AEB≌Rt△DHC，
∴BE=CH，
由勾股定理得：DH=

22-12

=

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×DH=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

（cm），
答：梯形ABCD的面积是3

3

cm．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点的理解何志武，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．