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    关于x的二次函数y=2sinax2-(4sina+
    1
    2
    )x-sina    +
    1
    2
    ，其中a为锐角，则：
    ①当a为30°时，函数有最小值-
    25
    16
    ；
    ②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；
    ③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；
    ④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．
    其中正确的结论有（　　）
    分析：①由于2sina＞0，所以函数一定有最小值，将a的值代入抛物线的解析式中，将解析式写成顶点式可得函数的最小值．
    ②令y=0，在所得方程中若根的判别式大于0，那么抛物线的图象与坐标轴的交点可能有三个：
    与x轴有两个交点，与y轴有一个交点；当抛物线经过原点时，抛物线的图象与坐标轴只有两个交点．
    首先将a的值代入解析式，先设抛物线与x轴的两个交点横坐标为x1、x2，那么这两点间的距离可表示为|x1-x2|=
    		(x1+x2)2-4x1x2
    ，以这条线段为底，抛物线与y轴交点纵坐标的绝对值为高即可得到三交点围成的三角形的面积值，然后判断是否小于1即可．
    ③由①知，抛物线的开口向上，所以一定有最小值；首先求出抛物线的对称轴方程，若x=1在抛物线对称轴右侧，那么y随x的增大而增大；若x=1在抛物线对称轴的左侧，那么随x的增大，y值先减小后增大．
    ④图象若过定点，那么函数值就不能受到变量sina的影响，所以先将所有含sina的项拿出来，然后令sina的系数为0，可据此求出x的值，将x的值代入抛物线的解析式中，即可得到这个定点的坐标．
    解答：解：①当a=30°时，sina=
    1
    2
    ，二次函数解析式可写作：y=x2-
    5
    2
    x=（x-
    5
    4
    ）2-
    25
    16
    ；
    所以当a为30°时，函数的最小值为-
    25
    16
    ；故①正确．
    ②令y=0，则有：2sinax2-（4sina+
    1
    2
    ）x-sina+
    1
    2
    =0，
    △=（4sina+
    1
    2
    ）2-4×2sina×（-sina+
    1
    2
    ）=24sin2a+
    1
    4
    ＞0，
    所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴可能有三个交点（当图象过原点时，只有两个交点）；
    设抛物线与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）；
    当a=45°时，sina=
    		2
    2
    ，得：y=
    		2
    x2-（2
    		2
    +
    1
    2
    ）x-
    		2
    -1
    2
    ，则：
    三角形的面积 S=
    1
    2
    |x1-x2|×
    		2
    -1
    2
    =
    		2
    -1
    4
    ×
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    		2
    -1
    4
    ×
    		(
    2
    		2
    +
    1
    2
    		2
    )    2    -4×
    -
    		2
    -1
    2
    		2
    ≈0.3＜1
    故②正确．
    ③∵2sina＞0，且对称轴x=-
    b
    2a
    =1+
    1
    8sina
    ＞1，
    ∴x=1在抛物线对称轴的左侧，因此 x＞1时，y随x的增大先减小后增大；
    故③错误．
    ④y=2sinax2-（4sina+
    1
    2
    ）x-sina+
    1
    2
    =sina（2x2-4x-1）-
    1
    2
    x+
    1
    2
    ；
    当2x2-4x-1=0，即 x=1±
    		6
    2
    时，抛物线经过定点，且坐标为：（1+
    		6
    2
    ，-
    		6
    4
    ）、（1-
    		6
    2
    ，
    		6
    4
    ）；
    故④正确．
    综上，正确的选项是①②④，故选C．
    点评：此题虽然是选择题，但难度和计算量都比较大，将三角函数与二次函数综合在一起的形式也加大了题目的难度．主要涉及到：二次函数最值的求法、三角形面积的求法、二次函数与一元二次方程以及不等式的联系等几方面的知识，这就要求同学对基础知识的牢固掌握并进一步做到灵活运用．
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    若y关于x的二次函数y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是
     
    ．

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    精英家教网已知关于x 的一元二次方程（m+2）x2-2x-1=0．
    （1）若此一元二次方程有实数根，求m的取值范围；
    （2）若关于x的二次函数y1=（m+2）x2-2x-1和y2=（m+2）x2+mx+m+1的图象都经过x轴上的点（n，0），求m的值；
    （3）在（2）的条件下，将二次函数y1=（m+2）x2-2x-1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数y3的图象．请你直接写出二次函数y3的解析式，并结合函数的图象回答：当x取何值时，这个新的二次函数y3的值大于二次函数y2的值．

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    （2013•顺义区一模）已知关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0
    （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
    （2）若关于x的二次函数y=mx2-（3m+2）x+2m+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式．

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    （2013•荆门）已知关于x的二次函数y=x2-2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）
    （1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；
    （2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
    （3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
    （平面内两点间的距离公式AB=
    		(x2-x1)2+(y2-y1)2
    ）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=-x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．
    （1）y1=y2，请说明a必为奇数；
    （2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；
    （3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．

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