Question

在等腰直角三角形内有一正方形，其两顶点在斜边上，另两顶点在两直角边上，若斜边长是9cm，则正方形周长是________cm．

Answer 1

12
分析：如图，正方形EFGH的两顶点在Rt△ABC的斜边上，另两顶点在两直角边上，过C作CD⊥AB与D，交EF与O，根据正方形的性质容易得到△CEF∽△CAB，设正方形的边长为x，那么CO=CD-x，根据等腰直角三角形的性质知道CD=4.5，然后利用相似三角形的性质即可列出关于x的方程，解方程即可求解．
解答：解：方法一：
如图，正方形EFGH的两顶点在Rt△ABC的斜边上，另两顶点在两直角边上，
过C作CD⊥AB于D，交EF于O，
设正方形的边长为x，那么CO=CD-x，
而AB=9cm，
根据等腰直角三角形的性质得CD=4.5，
∴CO=4.5-x，
又根据正方形的性质容易得到△CEF∽△CAB，
∴CO：CD=EF：AB，
∴（4.5-x）：4.5=x：9，
∴x=3，
∴正方形的周长为12cm．
方法二：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°；
故△AEF中∠AEH=45°，同理△BFG中∠BFG=45°，
故可得△AEF和△BFG也是等腰直角三角形，
所以AH=EH，BG=FG；EFGH为正方形，可得AH=EH=HG=FG=BG，
所为HG=AB==3．
所以正方形周长为3×4=12．
故答案为：12．
点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定及正方形的性质，解题时首先利用等腰直角三角和正方形的性质证明相似三角形，然后利用相似三角形的性质列出关于x的方程解决问题．