Question

【题目】（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．

Answer 1

【答案】数学理解：（1）AB＝（AF+BE）,理由见解析；问题解决：（2）∠ADB＝135°；联系拓广：（3）MN2＝AM2+NB2，

【解析】

数学理解：
（1）由等腰直角三角形的性质可得AC=BC，∠A=∠B=45°，AB＝AC，由正方形的性质可得DE=DF=CE，∠DFC=∠DEC=90°，可求AF=DF=CE，即可得AB＝（AF+BE）；

问题解决：
（2）延长AC，使FM=BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得DM=DB，通过△ADM≌△ADB，可得∠DAC=∠DAB=∠CAB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，由三角形内角和定理可求∠ADB的度数；

联系拓广：
（3）由正方形的性质可得DE∥AC，DF∥BC，由平行线的性质可得∠DAB=∠ADM，∠NDB=∠ABD，可得AM=MD，DN=NB，即可求MN，AM，BN的数量关系．

数学理解：

（1）AB＝（AF+BE）

理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形

∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC

∵四边形DECF是正方形

∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°

∴∠A＝∠ADF＝45°

∴AF＝DF＝CE

∴AF+BE＝BC＝AC

∴AB＝（AF+BE）

问题解决：

（2）如图②，延长AC，使FM＝BE，连接DM，

∵四边形DECF是正方形

∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°

∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED

∴△DFM≌△DEB（SAS）

∴DM＝DB

∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，

∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD

∴△ADM≌△ADB（SSS）

∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB

同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC

∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°

∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°

∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°

联系拓广：

（3）∵四边形DECF是正方形

∴DE∥AC，DF∥BC

∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°

∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD

∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD

∴AM＝MD，DN＝NB

在Rt∠DMN中，MN2＝MD2+DN2，

∴MN2＝AM2+NB2.