Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点(点D在BC左侧)．

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；

(3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)tan∠D=；(3)AB=.

【解析】

(1)如图，过点O作OF⊥AB，,求出OC=OF,证明OF为⊙O半径，且OF⊥AB，即可求解；

(2)连接CE,根据∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A，求出△ACE∽△ADC，可得，即可求解；

(3)根据△ACE∽△ADC，得，根据AO＝AO，OC＝OF，证明Rt△AOF≌Rt△AOC，求出AF＝AC＝12，根据∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°，证明△OBF∽△ABC，可得

，求出BF,即可求解.

证明：(1)如图，过点O作OF⊥AB，

∵AO平分∠BAC，OF⊥AB，∠ACB＝90°

∴OC＝OF，

∴OF为⊙O半径，且OF⊥AB

∴AB是⊙O切线．

(2)连接CE

∵DE是直径

∴∠DCE＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠DCE＝∠ACB

∴∠DCO＝∠ACE

∵OC＝OD

∴∠D＝∠DCO

∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A

∴△ACE∽△ADC

∴

∴tan∠D＝=

(3)∵△ACE∽△ADC

∴

∴AC2＝AD(AD﹣10)，且AC＝AD

∴AD＝18

∴AC＝12

∵AO＝AO，OC＝OF

∴Rt△AOF≌Rt△AOC(HL)

∴AF＝AC＝12

∵∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°

∴△OBF∽△ABC

∴

即

∴

∴BF＝

∴AB＝FA+BF＝12+=