Question

6．如图，抛物线y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x-2与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点，且△PBC的内外圆的圆心在x轴上，求点P的坐标．

Answer 1

分析 首先求得B和C的坐标，点P在第一象限时，△PBC的内切圆圆心才在x轴上，过P作PE⊥x轴于点D，交BC于点E．当△PBC的内切圆圆心在x轴上时，P和E关于x轴对称，点P的坐标是（m，n），则E的坐标是（m，-n），分别代入抛物线的解析式和直线BC的解析式即可求解．

解答 解：y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x-2中令x=0，则y=-2，即C的坐标是（0，-2），
令y=0，则-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x-2=0，解得：x=1或5，则A的坐标是（1，0），B的坐标是（5，0）．
设直线BC的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{5}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则BC的解析式是y=$\frac{2}{5}$x-2．
设点P的坐标是（m，n），则点P在第一象限时，△PBC的内切圆圆心才在x轴上．
过P作PE⊥x轴于点D，交BC于点E．
当△PBC的内切圆圆心在x轴上时，P和E关于x轴对称，即E的坐标是（m，-n）．
此时点P在抛物线上，则-n=$\frac{2}{5}$m-12，
又因为点P在抛物线上，则n=-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{12}{5}$m-2．
解得：m=2，n=$\frac{6}{5}$或m=5，n=0（舍去）．
则P的坐标是（2，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了二次阿函数与三角形的内切圆，正确理解过P作PE⊥x轴于点D，交BC于点E，当△PBC的内切圆圆心在x轴上时，P和E关于x轴对称是关键．