Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB的延长线于点D．
（1）求线段BD的长；
（2）若E为BC弧的中点，P为AD上一个动，求：PC+PE的最小值．

Answer 1

解：（1）连接BC，OC；
∵CD为过点C与⊙O相切的直线，
∴DC⊥OC，
又∵OC=OB，∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠CDB=30°，
∴OC=BC=BD=1．

（2）以AB为对称轴在下半圆弧上找出点E的对称点F，连接CF，CF长，就是PC+PE的最小值．
∵弧BC所对圆心角为60°，弧CF为弧BC长的，
∴弧CF所对的圆心角为90°，
∴弦CF的长为，
∴PC+PE的最小值为．
分析：（1）连接BC，OC由题意可知DC⊥OC，∠CBA=60°，推出∠BCD=∠CDB=30°，OC=BC=BD=1．
（2）以AB为对称轴在下半圆弧上找出点E的对称点F，连接CF，CF长，就是PC+PE的最小值．
点评：本题考查了切线性质和同一圆的弧和所对圆心角的性质，关键为找到两线段和最小时点P的位置．