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19.如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,∠BED=120°,猜想线段EA、EB、ED之间的数量关系,并证明.

分析 结论:EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA.如图,在线段BE上截取一点F,使得∠EAF=120°,作AM⊥BE于M,BE、AD交于点O,只要证明△ABF≌△ADE,推出AE=AF,BF=ED,EF=$\sqrt{3}$AE,即可解决问题.

解答 结论:EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA.
理由:如图,在线段BE上截取一点F,使得∠EAF=120°,作AM⊥BE于M,BE、AD交于点O.

∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,BC∥AD,
∵∠ABC=60°,
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°,
∴∠BAD=∠EAF,
∴∠BAF=∠DAE,
∵∠ABF=180°-∠BAD-∠AOB,∠EDA=180°-∠DEO-∠DOE,∠BAO=∠DEO=120°,∠AOB=∠DOE,
∴∠ABF=∠ADE,
在△ABF和△ADE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ADE}\\{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAE}\end{array}\right.$,
∴△ABF≌△ADE,
∴AF=AE,BF=ED,
∵AM⊥EF,
∴FM=ME,∠FAM=∠MAE=60°,
∴EF=2FM=2×AF•sin60°=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$EA
∴EB-ED=EF=$\sqrt{3}$EA.

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

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