Question

【题目】【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？
【特例分析】若n=2，则时间t= + ，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得AD+ 的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM=30°．

（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE= ；
（2）【问题解决】请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′，并说明理由．
（3）【模型运用】请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．
（4）如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m，BC=300m．救生员在C点处发现标志A处有人求救，
立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到
达A处的最短时间．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①，

∵DE⊥CM，∴∠DEC=90°，

∴在Rt△BCM中，DE=CDsin30°，

∴DE= ．

（2）解：如图①过点A作AE⊥CM交CB于点D'，则D'点即为所用时间最短的登陆点．

理由如下：由第（1）问可知，D'E'= ．

AD'+ 最短，即为AD'+D'E′最短．

由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短．

可知此时D'点即为所求

（3）解：如图②，

过点C做射线CM，使得sin∠BCM= ，

过点A作AE⊥CM，垂足为E，交CB于点D，则D即为所用时间最短的登陆点．

（4）解：∵救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，

∴此时sin∠BCM= ，可得sin∠DAB= ，

∴在Rt△ADB中，AB=300，

AD=225 ，DB=75 ，CD=300﹣75 ．

∴时间为 + =（50+100 ）s．

【解析】（1）在Rt△BCM中利用三角函数可求得；
（2）根据垂线段最短，可作出所用时间最短的登陆点D′；
（3）由“特例分析”可知n=2，则作∠BCM=30°，再仿照（2）的作法可得；
（4）由救生员在岸上跑的速度和在海中游泳的速度可求出sin∠BCM的值和sin∠DAB的值，在Rt△ADB中求出AD、BD，从而得到CD，从而可求得时间.