【题目】某竹制品加工厂根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型竹制品玩具未来两年的销售进行预测,并建立如下模型:设第t个月,竹制品销售量为P(单位:箱),P与t之间存在如图所示函数关系,其图象是线段AB(不含点A)和线段BC的组合.设第t个月销售每箱的毛利润为Q(百元),且Q与t满足如下关系Q=2t+8(0≤t≤24).
(1)求P与t的函数关系式(6≤t≤24).
(2)该厂在第几个月能够获得最大毛利润?最大毛利润是多少?
(3)经调查发现,当月毛利润不低于40000且不高于43200元时,该月产品原材料供给和市场售最和谐,此时称这个月为“和谐月”,那么,在未来两年中第几个月为和谐月?
【答案】(1)P=﹣t+26(6≤t≤24);(2)该厂在第11个月能够获得最大毛利润,最大毛利润是45000元;(3)未来两年中的和谐月有:6,7,8,14,15,16这六个月.
【解析】
(1)当6≤t≤24时,设P与t的函数关系式为P=kt+b,把点B(6,20)和C(24,2)代入求出k和b,即可得解;
(2)设直线AB的函数解析式为P=mt+n,将A(0,14),B (6,20)代入求出m和n,分0<t<6和6≤t≤24来讨论求解;
(3)分0<t<6和6≤t≤24,结合(2)中求得的毛利润函数,列不等式组可解.
(1)当6≤t≤24时,设P与t的函数关系式为P=kt+b.
∵该图象过点B(6,20)和C(24,2),
∴,
∴,
∴P与t的函数关系式为P=﹣t+26(6≤t≤24).
(2)设直线AB的函数解析式为P=mt+n,将A(0,14),B (6,20)代入得:
,
∴,
∴直线AB的函数解析式为P=t+14,
∴当0<t<6时,利润L=QP=(2t+8)(t+14)=2t2+36t+112=2(t+9)2﹣50.
当t=5时,利润L取最大值为2(5+9)2﹣50=342(百元)=34200(元);
当6≤t≤24时,利润L=QP=(2t+8)(﹣t+26)=﹣2t2+44t+208=﹣2(t﹣11)2+450.
450百元=45000元,
∴当t=11时,利润L有最大值,最大值为45000元.
综上所述:该厂在第11个月能够获得最大毛利润,最大毛利润是45000元.
(3)∵40000元=400百元,43200元=432百元,
∴或
第一个不等式无解,第二个不等式的解为6≤t≤8或14≤t≤16,
∴未来两年中的和谐月有:6,7,8,14,15,16这六个月.
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【题目】如图所示的益智玩具由一块主板AB和一个支撑架CD组成,其侧面示意图如图1所示,测得AB⊥BD,AB=40cm,CD=25cm,点C为AB的中点.现为了方便儿童操作,需调整玩具的摆放,将AB绕点B顺时针旋转,CD绕点C旋转,同时点D做水平滑动(如图2),当点C1到BD的距离为10cm时停止运动,求点A经过的路径的长和点D滑动的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.732, ≈4.583,π≈3.142)
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【题目】综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).
(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
(2)试探究抛物线上是否存在点F,使≌,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,是等腰三角形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(―3,6)、B(―9,一3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(―1,2)
B.(―9,18)
C.(―9,18)或(9,―18)
D.(―1,2)或(1,―2)
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【题目】 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论:①a﹣b+c<0;②2a+b+c>0;③x(αx+b)≤a+b;④a>﹣1.其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B.点P是x轴上一个动点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.设点P的横坐标为m.
(1)点A的坐标为 .
(2)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(3)点P在线段OA上时,若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似,求m的值.
(4)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),称E、F、P三点为“共谐点”.直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有 (填序号)
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【题目】如图,若内一点满足,则称点为的布罗卡尔点,三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮.已知中,,,为的布罗卡尔点,若,则________.
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