Question

17．已知，已知矩形纸片ABCD的边长分别为acm和bcm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜想四边形AECF是菱形吗？为什么？
（2）请写出求折痕EF的长的解题思路．

Answer 1

分析 （1）折叠问题，即物体翻折后，翻折部分与原来的部分一样，对应边相等；
（2）求线段的长度，可在直角三角形中利用勾股定理求解，题中利用其面积相等进行求解，即菱形的面积等于底边长乘以高，亦等于对角线乘积的一半．

解答 解：（1）菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∠AFE=∠CEF．
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，
∴∠CEF=∠AEF，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴AECF为平行四边形，
∵AE=EC，
即四边形AECF的四边相等．
∴四边形AECF为菱形．

（2）①根据AB=acm，BC=bcm，由勾股定理得到AC²=（a²+b²）cm，AF=CF，
②在Rt△BCF中，设BF=xcm，则CF=（a-x）cm，
③由勾股定理可得（a-x）²=x²+b²，求得x，
④根据三角形的面积公式求得结论．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质．