Question

已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，-1，若二次函数y=

1

3

x²的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）将A、B的横坐标代入抛物线的解析式中，即可求得A、B的坐标，然后将它们代入直线的解析式中，即可求得待定系数的值．
（2）根据抛物线的解析式不难得出其顶点实际是原点O，由于三角形OAB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来求．设直线AB与x轴的交点为D，那么可用三角形ADO的面积减去三角形OBD的面积来求出三角形OAB的面积．可先根据直线AB的解析式求出D点坐标，然后根据上面分析的三角形ABO的面积计算方法进行求解即可．

解答：解：（1）设A点坐标为（3，m）；B点坐标为（-1，n）．
∵A、B两点在y=

1

3

x²的图象上，
∴m=

1

3

×9=3，
n=

1

3

×1=

1

3

．
∴A（3，3），B（-1，

1

3

）．
∵A、B两点又在y=ax+b的图象上，
∴

3=3a+b 1 3 =-a+b

．
解得

a= 2 3 b=1

．
∴一次函数的表达式是y=

2

3

x+1．

（2）如下图，
设直线AB与x轴的交点为D，则D点坐标为（-

3

2

，0）．
∴|DC|=

3

2

．
S_△ABC=S_△ADC-S_△BDC
=

1

2

×

3

2

×3-

1

2

×

3

2

×

1

3

=

9

4

-

1

4

=2．

点评：本题考查了一次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．