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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,直线DCAB的延长线相交于PCE平分∠ACB,交直径AB于点F,连结BE

1)求证:AC平分∠DAB

2)探究线段PCPF之间的大小关系,并加以证明;

3)若tanPCB=BE=,求PF的长.

【答案】(1)见解析;(2)PC=PF.证明见解析;(3)

【解析】试题分析:(1)、连接OC,根据切线的性质得出∠OCP=D=90° OCAD,然后根据OA=OC得出∠CAD=OCA=OAC,从而得出角平分线;(2)、根据∠PCB+ACD=∠CAD+ACD=90°,从而得出∠CAB=CAD=PCB,结合∠ACE=BCE,∠PFC=CAB+ACE,∠PCF=PCB+BCE得出∠PFC=PCF,从而得出答案;(3)、连接AE,根据题意得出△PCB和△PAC相似,然后设PB=3x,则PC=4x,根据RtPOC的勾股定理得出x的值,从而得出答案.

试题解析:(1)连接OC. ∵OA=OC,∴∠OAC=OCA

PC是⊙O的切线,ADCD, ∴∠OCP=D=90°, ∴ OCAD

∴ ∠CAD=OCA=OAC.即AC平分∠DAB

(2)PC=PF

证明:∵AB是直径, ∴∠ACB=90°,∴∠PCB+ACD=90° 又∵∠CAD+ACD=90°

∴∠CAB=CAD=PCB

又∵∠ACE=BCE,∠PFC=CAB+ACE,∠PCF=PCB+BCE. ∴∠PFC=PCF

PC=PF

(3)连接AE. ∵∠ACE=BCE,∴=, ∴AE=BE

又∵AB是直径, ∴∠AEB=90°AB=, ∴OB=OC=5

∵∠PCB=PAC,∠P=P, ∴△PCB∽△PAC. ∴

tanPCB=tanCAB=, ∴=

PB=3x,则PC=4x,在RtPOC中,(3x+52=(4x2+52

解得x1=0,. ∵x>0,∴, ∴PF=PC=

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A. 1B. 2C. 3D. 4

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