分析 (1)由折叠的性质得到EM⊥BD,得到一对相似三角形,利用相似三角形的性质列比例式求解.
(2)连接MQ,CF,由折叠的性质得到BM=FM=CM,根据等边对等角得到∠CFM=∠FCM,根据直角三角形的判定得到,∠BFC=90°,因为∠MCD=90°,所以∠DFC=∠QCF,由等角对等得到CQ=QF,CQ=DQ;
(3)如图2延长EQ交BC的延长线于H,构造全等三角形,证得三角形相似,列方程求解.
解答 解:(1)如图1,∵△BME折叠后得到△FME,
∴EM⊥BD,
∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3,
∵∠C=∠EBM=90°,
∴△BME∽△CDB,
∴$\frac{BM}{CD}$=$\frac{BE}{BC}$,
∵BC=2BM.
∴$\frac{BM}{CD}$=$\frac{BE}{2BM}$,
∴2BM2=CD•BE=6×$\frac{25}{3}$=50,
∴BC=10;
(2)如图1,连接MQ,CF,
∴BM=FM=CM,
∴∠CFM=∠FCM,FM=$\frac{1}{2}$BC,
∴∠BFC=90°,
∵∠MCD=90°,
∴∠DFC=∠QCF,
∴CQ=QF,
∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC,
∵∠EFB=∠DFQ,
∴∠FDQ=∠DFQ,
∴DF=DQ,∴CQ=DQ,
∴点Q是CD的中点;
(3)如图2延长EQ交BC的延长线于H,
由(2)证得DQ=CQ,
在△NDQ与△HCQ中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADQ=∠QCH=90°}\\{∠NQD=∠CQH}\\{DG=CQ}\end{array}\right.$,
∴△NQD≌△HCQ,
∴CH=DH,∠H=∠DNQ,
∴∠H=∠ANE,
∵DQ∥AB,
∴△ANE∽△QDN,
∴$\frac{AE}{DQ}$=$\frac{AN}{DN}$=2,
∴AE=2DQ,
∵AB=CD=2DQ,
∴AB=AE,
∵∠MFQ=∠EAN=90°,
∴△ANE~△HFM,
∴$\frac{AE}{FM}$=$\frac{AN}{HF}$,
∵FH=$\sqrt{{MH}^{2}{-MF}^{2}}$=$\frac{2}{3}$BC,
∵AE=AB,FM=$\frac{1}{2}$BC,AN=$\frac{2}{3}$BC,
∴$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$=$\frac{\frac{2}{3}BC}{\frac{2}{3}BC}$=1,
∴$\frac{BC}{AB}$=2.
故答案为:2.
点评 本题考查了折叠的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用,解题的关键是作辅助线构造全等三角形.
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A. | 85、26 | B. | 85、27 | C. | 84、29 | D. | 84、28 |
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