Question

7．已知抛物线y=ax²+bx-3a与x轴交于A（-1，0），B（x₂，0），与y轴负半轴交于点C，OB=OC．
（1）求抛物线解析式．
（2）如图，D为抛物线第一象限的点，若S_△DAC=2S_△DBC，求D点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到B（3a，0），C（0，-3a），把A（-1，0），B（3a，0），C（0，-3a）代入y=ax²+bx-3a，即可得到结论；
（2）设D点的纵坐标为h，根据已知条件列方程得到AE=2BE，求得AE=$\frac{8}{3}$，BE=$\frac{4}{3}$，得到E（$\frac{5}{3}$，0），求得直线CD的解析式为：y=$\frac{9}{5}$x-3，解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3a开口向上，∴a＞0，∴OC=-3a，∵OB=OC，∴B（3a，0），C（0，-3a），∴y=a（x+1）（x-3a）
把A（-1，0），B（3a，0），C（0，-3a）代入y=ax²+bx-3a得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3a=0}\\{9{a}^{2}+3ab-3a=0}\end{array}\right.$，
∵a≠0，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）∵D为抛物线第一象限的点，
设D点的纵坐标为h，
∵若S_△DAC=2S_△DBC，
∴S_△AED+S_△ACE=2（S_△BED+S_△CBE），
即$\frac{1}{2}$AE•h+$\frac{1}{2}$AE•3=2（$\frac{1}{2}$BE•h+$\frac{1}{2}$BE•3），
∴AE=2BE，
∵AB=4，
∴AE=$\frac{8}{3}$，BE=$\frac{4}{3}$，
∴E（$\frac{5}{3}$，0），
∴直线CD的解析式为：y=$\frac{9}{5}$x-3，
解$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=\frac{9}{5}x-3}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{19}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{96}{25}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{19}{5}$，$\frac{96}{25}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．