Question

【题目】二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n＞0且n为整数），与y轴交于C点．

（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；

（2）求证：a=m-；

（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=．

【解析】

试题（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；

②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；

（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；

（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m的值即可确定a的值．

试题解析：（1）①∵a=1，

∴A（1，0），

代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，

∴y=x2-4x+3；

②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，

∴A（1，0）、B（3，0），

∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），

∴OC=3，

△ABC的面积=×2×3=3；

（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，

∴对称轴为直线x=m，

∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B

∴点A和点B关于直线x=m对称，

∴a+n-m=m-a，

∴a=m-；

（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）

①当a为整数，因为n＞0且n为整数 所以a+n是整数，

∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，

∴n=2，

∴a=m-1，

∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，

∴m2-4=0，

∴m=2，m=-2（舍去），

∴a=2-1=1，

②当a不是整数，因为n＞0且n为整数 所以a+n不是整数，

∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，

∴n=3，

∴a=m-

∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，

∴m2=，

∴m=，m=-（舍去），

∴a=，

综上所述：a=1或a=．