Question

14．如图，在Rt△BDF中，∠BDF=90°，把△BDF绕点D顺时针旋转90°，使点B和点F分别落在DF、BD的延长线上的点A和点C处，延长BF与AC交于点E，连接AB、DE．
（1）请分别写出与△ADC和△CDE相似的三角形（全等三角形除外，直接写出，不用证明）；
（2）如果BD=4，DF=3，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到∠CAD=∠DBF，根据对顶角的性质得到∠AFE=∠BFD，推出△ADC∽△AEF，△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到$\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}$，于是得到△CDE∽△CAB；
（2）根据旋转的性质得到CD=DF=3，BD=AD，∠ADC=∠D=ADB=90°，AC=BF，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$BD=4$\sqrt{2}$，AC=BF=$\sqrt{B{D}^{2}+D{F}^{2}}$=5，由相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）△ADC∽△AEF∽△BEC，△CDE∽△CAB，
理由：∵把△BDF绕点D顺时针旋转90°得到△ADC，
∴∠CAD=∠DBF，
∵∠AFE=∠BFD，
∴△ADC∽△AEF，
∵∠CAD=∠DBF，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∴△CDE∽△CAB；
（2）∵把△BDF绕点D顺时针旋转90°得到△ADC，
∴CD=DF=3，BD=AD，∠ADC=∠D=ADB=90°，AC=BF，
∴∠BDC=180°，AB=$\sqrt{2}$BD=4$\sqrt{2}$，AC=BF=$\sqrt{B{D}^{2}+D{F}^{2}}$=5，
∴B，D，C共线，
∴BC=BD+CD=7，
∵△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AB}$，即$\frac{3}{5}$=$\frac{DE}{4\sqrt{2}}$，
∴DE=$\frac{12\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．