Question

如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．
（1）求证：DA=DC；
（2）当DF：EF=1：8，且DF=时，求AB•AC的值；
（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA=DC是否仍然成立？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接过切点的半径OC，根据等角的余角相等进行证明∠ACD=∠DAC，从而得到AD=CD；
（2）根据已知条件求得DF的长，再根据切割线定理求得CD的长．从而求得DF和EF的长，最后根据相交弦定理即可求得它们的乘积；
（3）作直径，构造了直接三角形，也构造了弦切角所夹的弧所对的圆周角．根据等角的余角相等证明∠DAC=∠ACD，从而证明结论．
解答：（1）证明：连接OC，则OC⊥DC，（1分）
∴∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B．
∵∠DAC=∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAC=∠DCA．
∴DA=DC．

（2）解：∵DF：EF=1：8，
∵DF=，
∴EF=8DF=8．
∵DC为⊙O的切线，
∴DC²=DF•DE=×9=18．
∵DC=3，
∴AF=2，AE=6．
∴AB•AC=AE•AF=24．

（3）解：结论DA=DC仍然成立．
理由如下：延长BO交⊙O于K，连接CK，则∠KCB=90°；
∵DC为⊙O的切线，
∴∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK．
∵∠CBK=∠HBA，
∴∠BAH=90°-∠HBA=90°-∠CBK．
∴∠DCA=∠BAH．
∴DA=DC．
点评：综合运用了切线的性质定理、圆周角定理的推论、切割线定理和相交弦定理进行求解证明．