Question

14．如图，以△ABC的各边为边，在BC的同一侧作等边三角形DBC，等边三角形ABE，等边三角形△ACF．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）△ABC满足何条件，四边形AEDF是菱形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得∠ABE=∠CBD=60°，AB=BE=AE，CB=BD=CD，则∠ABC=∠EBD，于是可利用“SAS”判断△ABC≌△EBD，得到AC=DE，再由△ACF为等边三角形得AC=CF=AF，则AF=DE，同理可证△ACB≌△FCD得到AB=DF，则AE=DF，然后根据平行四边形的判定方法即可得到结论；
（2）由于四边形AEDF是平行四边形，根据菱形的判定方法，当AE=AF时，四边形AEDF是菱形，此时AB=AC．

解答 （1）证明：∵△ABE和△CBD为等边三角形，
∴∠ABE=∠CBD=60°，AB=BE=AE，CB=BD=CD，
∴∠ABC=∠EBD，
在△ABC和△EBD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠ABC=∠EBD}\\{CB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBD，
∴AC=DE，
∵△ACF为等边三角形，
∴AC=CF=AF，
∴AF=DE，
同理可证得△ACB≌△FCD，
∴AB=DF，
而AB=AE，
∴AE=DF，
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）解：△ABC满足AB=AC时，四边形AEDF是菱形．理由如下：
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴当AE=AF时，四边形AEDF是菱形，
此时AB=AC，
∴当AB=AC时，四边形AEDF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和平行四边形的判定．