Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,翻折变换（折叠问题）

专题：证明题

分析：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，再由BC⊥AC，得到PD与BC平行，由折叠的性质得到MN与CP垂直，利用同角的余角相等得到∠1=∠CNM，再由一对直角相等，得到三角形PDC与三角形MCN相似，由相似得比例列出比例式，根据题意得到三角形ADP为等腰直角三角形，得到AD=PD，代入得出的比例式中，最后由PD与BC平行，由平行得比例得到比例式，两比例式代换即可得证．

解答：证明：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
根据折叠可知：MN⊥CP，
∵∠1+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°，
∴∠1=∠CNM，
∵∠CDP=∠NCM=90°，
∴△PDC∽△MCN，
∴MC：CN=PD：DC，
∵∠ADP=90°，∠A=45°，
∴△ADP为等腰直角三角形，
∴PD=DA，
∴MC：CN=DA：DC，
∵PD∥BC，
∴DA：DC=PA：PB，
∴MC：CN=PA：PB．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．