Question

已知：如图，AB是半圆O的直径，C为AB上一点，AC为半圆O′的直径，BD切半圆O′于点D，CE⊥AB交半圆O于点F．
（1）求证：BD=BE；
（2）若两圆半径的比为3：2，试判断∠EBD是直角、锐角还是钝角？并给出证明．

Answer 1

证明：（1）连接DO′，
∵BD切半圆O′于点D，
∴∠O'DB=90°，
∴△BDO′是直角三角形，
设大圆半径R小圆半径r，
则BD²=O′B²-DO′²
即为BD²=（2R-r）²-r²，
整理得：BD²=4R²-4Rr
∵CE垂直AB，可用射影定理得EB²=AB•BC，
代入数值得：BE²=（2R-2r）×2R，
整理得：BE²=4R²-4Rr，
∴BD²=BE²，
∵BD＞0，BE＞0，
∴BD=BE；

（2）∠EBD是锐角，
∵两圆半径的比为3：2，
∴AB：AC=3：2．
设AB=3k，则AC=2k，
∴BC=AB-AC=k，
∴O′B=O′C+BC=2k，
在R t△O′DB中，
sin∠O′BD=，
∵sin30°=
∴∠O′BD＜30°，
∵CE²=AC•BC=2k•k，
进而求得EC=k．
在Rt△ECB中，
tan∠EBC==，
∵tan60°=，
∴∠EBC＜60°．
∴∠EBD=∠EBC+∠O′BD＜60°+30°=90°．
∴∠EBD是锐角．
分析：（1）连接DO'，有切线的性质可知∠O'DB是直角，设大圆半径R小圆半径r，由勾股定理和射影定理（或三角形相似）即可证明BD=BE；
（2）∠EBD是锐角，设AB=3k，则AC=2k，利用锐角三角函数即可证明∠ABD＜30°，∠EBC＜60°，进而证明∠EBD=∠ABD+∠EBC＜90°．
点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，以及锐角三角函数的知识，解题时要先明白题意，弄清每个已知条件的具体意义和作用，再解题，判断一个角是锐角、直角还是钝角，初中阶段只能从锐角三角函数的值入手，这是本题的基本思路．本题证明两条线段相等，没用常规的证明全等的方法，而是用相似三角形的线段成比例和圆的切割线定理．这一方法在今后的学习中值得借鉴．