Question

如图，等边△ABC中，D为BC边中点，CP是BC的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（1）作∠ACP的平分线CF；
（2）作∠ADE=60°，且DE交CF于点E；
（3）在（1），（2）的条件下，可判断AD与DE的数量关系是

 

；
请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,作图—复杂作图

专题：

分析：（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（3）连接AE，首先根据等边三角形的性质计算出∠BAD=∠EDC=30°，∠DEC=∠EDC=30°，进而得到CE=CD=BD，然后证明△ABD≌△ACE可得AD=AE，再由∠ADE=60°，可得△ADE是等边三角形，进而得到AD=DE．

解答：解：（1）尺规作图，如图
（2）尺规作图，如图； 
（3）AD=DE．
理由如下：
解法一：如图，连接AE，
∵等边△ABC中，D为BC边中点，
∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠EDC=30°，
∵∠ACP=120°，CE为∠ACP的平分线，
∴∠ACE=∠ECP=60°，
∴∠DEC=∠ECP-∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠EDC=30°，
∴CE=CD=BD．                                 
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE=60° DB=CE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
                      
解法二：如图，过点D作DM∥AC交AB于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△BDM为等边三角形，BM=BD，∠BMD=∠BDM=60°．
∵AB=BC，
∴AB-BM=BC-BD，即AM=CD．
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
而∠ADC=∠EDC+∠ADE，
∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠EDC．
∵∠ACP=120°，CE为∠ACP的平分线，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=120°，
∴∠AMD=∠DCE=120°．
在△ADM和△DEC中，

∠DAM=∠EDC AM=DC ∠AMD=∠DCE

，
∴△ADM≌△DEC（ASA），
∴AD=DE．

点评：此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确掌握全等三角形的判定方法，掌握证明全等是证明角相等的一种重要手段．