Question

已知一元二次方程x²+mx+n+2=0的一根为-1．
（1）试确定n关于m的函数关系式；
（2）判断抛物线y=x²+mx+n与x轴的公共点个数；
（3）设抛物线y=x²+mx+n+2与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求对应点的m、n的值．

Answer 1

解：（1）由题意得（-1）²+（-1）m+n+2=0，即n=m-3；

（2）∵一元二次方程x²+mx+n=0的判别式△=m²-4n，
由（1）得△=m²+4（m-3）=m²+4m+12=（m+2）²+8＞0，
∴一元二次方程x²+mx+n=0有两个不相等的实根，
∴抛物线y=x²+mx+n与x轴有两个交点；

（3）由题意，x²+mx+m-1=0，
解此方程得x₁=1，x₂=1-m （m≠2），
∴AB=m-2（m＞2）或AB=2-m（m＜2），
∵y=x²+mx+n+2即y=x²+mx+m-1的顶点坐标是（-，-），
又∵以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，
∴设顶点为M，则△ABM为等腰直角三角形，
∴可得当m＞2时，有（m-2）=，解得m₁=2（舍），m₂=6，
当m＜2时，有（2-m）=，解得m₃=2（舍），m₄=0，
综上可知m=6或m=0，
∴或．
分析：（1）把x=-1直接代入一元二次方程x²+mx+n+2=0中即可得到n关于m的函数关系式；
（2）利用（1）的结论证明抛物线y=x²+mx+n的判别式是正数就可以了；
（3）首先求出方程x²+mx+m-1=0的两根，然后用m表示AB的长度，表示抛物线顶点坐标，再利用以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
点评：本题考查二次函数和一元二次方程的关系，此题比较难，综合性比较强，主要利用了抛物线与x轴交点情况与判别式的关系解决问题，也利用了圆的知识来确定待定系数．