【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.0为BC边上一点,以0为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连接DE.
(1)当BD=3时,求线段DE的长;
(2)过点E作半圆O的切线,当切线与AC边相交时,设交点为F.求证:△FAE是等腰三角形.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)由DB为直径可以得到∠DEB=∠C=90°,由此可以证明Rt△DBE∽Rt△ABC有,把AC,BD,AB的值即可求得DE的值;
(2)由弦切角定理可得,∠B=∠FED,再由等角的余角相等知,∠A=∠FEA,故AF=EF.
解:(1)因为BD是直径
所以角DEB是直角
所以
(2)证法一:连接OE,
∵EF为半圆O的切线,
∴∠DEO+∠DEF=90°,
∴∠AEF=∠DEO,
∵△DBE∽△ABC,
∴∠A=∠EDB,
又∵∠EDO=∠DEO,
∴∠AEF=∠A,
∴△FAE是等腰三角形;
证法二:连接OE
∵EF为切线,
∴∠AEF+∠OEB=90°,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠B,
∴∠AEF=∠A,
∴△FAE是等腰三角形.
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【题目】在平面直角标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4),C(﹣1,6).
(1)画出△ABC,并求出BC所在直线的解析式;
(2)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1,并求出△ABC在上述旋转过程中扫过的面积.
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【题目】如图,在中,,于点,,为了研究图中线段之间的关系,设,,
(1)可通过证明,得到关于的函数表达式__________,其中自变量的取值范围是___________;
(2)根据图中给出的(1)中函数图象上的点,画出该函数的图象;
(3)借助函数图象,回答下列问题:①的最小值是__________;②已知当时,的形状与大小唯一确定,借助函数图象给出的一个估计值(精确到0.1)或者借助计算给出的精确值.
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【题目】为美化小区环境,物业计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作.已知甲工程队每天绿化面积是乙工程队每天绿化面积的2倍,甲工程队单独完成600m2的绿化面积比乙工程队单独完成600m2的绿化面积少用2天.
(1)求甲、乙两工程队每天绿化的面积分别是多少m2;
(2)小区需要绿化的面积为9600m2,物业需付给甲工程队每天绿化费为0.3万元,付给乙工程队每天绿化费为 0.2万元,若要使这次的绿化总费用不超过10万元,则至少应安排甲工程队工作多少天?
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点.
(1)利用图中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)求△AOB的面积.
(3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
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【题目】甲乙两人同时登山,甲乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山的速度是 米/分钟,乙在A地提速时距地面的高度b为 米.
(2)若乙提速后,乙的速度是甲登山速度的3倍,请求出乙提速后y和x之间的函数关系式.
(3)登山多长时间时,乙追上了甲,此时乙距A地的高度为多少米?
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;
(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.
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【题目】已知在平面直角坐标系内,的三个顶点的分别为,,(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)在网格内画出向下平移2个单位长度得到的,点的坐标是________;
(2)以点为位似中心,在网格内画出,使与位似,且位似比为,点的坐标是________;
(3)的面积是________平方单位.
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