Question

1．已知：如图等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，且梯形面积为16．求：
（1）等腰梯形ABCD的对角线长；
（2）△EFG是边长为a的等边三角形，G，E，B，C在同一直线上，BE=5，将梯形左移8个单位得等腰梯形A′B′C′D′，若△O′B′C′与等边三角形EFG重合面积S_△B′PE是等边三角形EFG的$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．求：等边三角形边长a=？

Answer 1

分析 （1）先根据梯形的面积公式求出梯形的高，然后作出等腰梯形的两条高AM，DN，易得△ABM≌△DCN，四边形AMND是矩形，进而可得BM=MN=NC=2，然后利用勾股定理即可求出等腰梯形ABCD的对角线长；
（2）过点P作PH⊥B′E，垂足为H，过点F作FQ⊥GE，垂足为Q，由题意可得：BB′=8，由BE=5，进而可得：B′E=3，由（1）知：△BDN是等腰直角三角形，进而可得∠DBN=45°，即∠PB′H=45°，从而可得：△PB′H是等腰直角三角形，由△EFG是边长为a的等边三角形，可得：∠FEG=60°，进而可得∠EPH=30°，然后设HE=x，然后用含x的式子表示B′E=（$\sqrt{3}$+1）x，然后由B′E=3，进而可求x的值，进而可求出△B′PE的面积，然后根据S_△B′PE是等边三角形EFG的$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，即可求出等边三角形边长a．

解答 解：（1）作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足为分别为M、N，

可得：∠AMB=∠DNC=90°、AM=DN、四边形AMND是矩形，
∴MN=AD=2，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC=BD，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{AM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）
∴BM=CN，
∵BM+CN=BC-MN=4，
∴BM=CN=2，
∴BN=MC=4，
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AM，
∴$\frac{1}{2}×$（2+6）×AM=16，
解得：AM=4，
∴DN=AM=4，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{A{M}^{2}+M{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴AC=BD=4$\sqrt{2}$；
（2）过点P作PH⊥B′E，垂足为H，过点F作FQ⊥GE，垂足为Q，

由题意可得：BB′=8，
∵BE=5，
∴B′E=BB′-BE=3，
由（1）知：△BDN是等腰直角三角形，
∴∠DBN=45°，即∠PB′H=45°，
∴△PB′H是等腰直角三角形，
∴PH=B′H，
∴△EFG是边长为a的等边三角形，
∴∠FEG=60°，GQ=QE=$\frac{1}{2}$QE=$\frac{1}{2}$a，
∴∠EPH=30°，
设HE=x，则PE=2x，
由勾股定理得：PH=$\sqrt{3}$x，
∴B′H=$\sqrt{3}x$，
∴B′E=（$\sqrt{3}$+1）x，
∵B′E=3，
∴（$\sqrt{3}$+1）x=3，
解得：x=$\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}$，
∴PH=$\sqrt{3}$x=$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$
∴S${\;}_{△{B}^{′}PE}$=$\frac{1}{2}$•B′E•PH=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27-9\sqrt{3}}{4}$，
在Rt△FGQ中，由勾股定理得：
FQ=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
S_△FGE=$\frac{1}{2}•$GE•FQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∵S_△B′PE是等边三角形EFG的$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴$\frac{27-9\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
解得a=±3$\sqrt{2}$，
∵a不能为负数，
∴a=3$\sqrt{2}$．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了等腰梯形的有关性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是：添加适当的辅助线，判断△BDN是等腰直角三角形，△PB′H是等腰直角三角形．