Question

如图1，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出l秒钟后，A、B两点的坐标．
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值：若发生变化，请说明理由．
（3）若∠AOB的度数不再是定值90°，而是在0°＜∠O＜180°范围内任意取值，其他条件不变（即∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P）试探究∠P与∠O之间的数量关系式．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,非负数的性质：绝对值,解二元一次方程组,坐标与图形性质,三角形的外角性质

专题：整体思想

分析：（1）根据非负数的性质列出方程求解得到x、y的值，再求出OA、OB，然后写出点A、B的坐标即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠PAB+∠PBA，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠PAB+∠PBA，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）由题意得，

x+2y-5=0 2x-y=0

，
解得

x=1 y=2

，
所以，OA=1，OB=2，
所以，A（-1，0），B（0，2）；

（2）不发生变化．
∵∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABO+∠AOB）+

1

2

（∠BAO+∠AOB），
=

1

2

（∠ABO+∠AOB+∠BAO+∠AOB），
=

1

2

（180°+90°），
=135°，
在△PAB中，∠P=180°-（∠PAB+∠PBA）=180°-135°=45°；

（3）∵∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABO+∠AOB）+

1

2

（∠BAO+∠AOB）
=

1

2

（∠ABO+∠O+∠BAO+∠O）
=

1

2

（180°+∠O），
在△PAB中，∠P=180°-

1

2

（180°+∠O）=90°-

1

2

∠O．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，非负数的性质，解二元一次方程组，坐标与图形性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，整体思想的利用是解题的关键．