Question

如图，把抛物线（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称.点、、分别是抛物线、与轴的交点，、分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点.

（1）分别写出抛物线与的解析式；

（2）设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴的对称点，试判断以、、、为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.

（3）在抛物线上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解：（1）（或）；

（或）；

（2）以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形.

理由：点与点，点与点关于轴对称，

轴.

①当点是的对称轴与的交点时，点、的坐标分别为（1，3）和（1， 3），而点、的坐标分别为（）和（1，1），所以四边形是矩形.

②当点不是的对称轴与的交点时，根据轴对称性质，

有：（或），但.

四边形（或四边形）是等腰梯形.

（3）存在.设满足条件的点坐标为，连接依题意得：

，

.

①当时，

将代入的解析式，解得：

，

②当时，

将代入的解析式，解得：

，