Question

【题目】乘法公式的探究及应用．

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．

方法1：______；方法2：______．

（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．______；

（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：

（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；

②已知（x-2016）2+（x-2018）2=34，求（x-2017）2的值．

Answer 1

【答案】(1) （a+b）2；a2+b2+2ab；(2)（a+b）2=a2+2ab+b2；(3)见解析;(4)①7；②16.

【解析】

（1）第一种方法：直接用正方形的面积公式求解；第二种方法将其看做是一个两个正方形和两个长方形，分别求出面积再求和即可.

（2）依据（1）中的代数式，即可得到所求的关系；

（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可完成验证；

（4）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再将a2+b2=11，即可得到ab=7；②设x-2017=a，则x-2016=a+1，x-2018=a-1，依据（x-2016）2+（x-2018）2=34，即可得到∴（a+1）2+（a-1）2=34，然后化简得a2=16，即可完成解答.

解：（1）图2大正方形的面积=（a+b）2；图2大正方形的面积=a2+b2+2ab；

故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；

（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2=a2+2ab+b2；

故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；

（3）如图所示，

（4）①∵a+b=5，

∴（a+b）2=25，即a2+b2+2ab=25，

又∵a2+b2=11，

∴ab=7；

②设x-2017=a，则x-2016=a+1，x-2018=a-1，

∵（x-2016）2+（x-2018）2=34，

∴（a+1）2+（a-1）2=34，

∴a2+2a+1+a2-2a+1=34，

∴2a2+2=34，

∴2a2=32，

∴a2=16，

即（x-2017）2=16．