Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；
（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．

Answer 1

（1）解：作图如图．
证明：在△ABO与△ADO中，
∵，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=∠OEB，
在△BOE与△DOA中，
∵，
∴△BOE≌△DOA（AAS），
∴BE=AD（平行且相等），
∴四边形ABED为平行四边形，另AB=AD，
∴四边形ABED为菱形；

（2）证明：设DE=2a，则CE=4a，过点D作DF⊥BC，
∵∠ABC=60°，∴∠DEF=60°，
∴∠EDF=30°，∴EF=DE=a，
则DF=，CF=CE-EF=4a-a=3a，
∴，
∴DE=2a，EC=4a，CD=，构成一组勾股数，
∴△EDC为直角三角形，则ED⊥DC．
分析：（1）分别以点B、D为圆心，以大于AB的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点P，连接AP，则AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E；
可通过证△BOE≌△BOA，得AO=OE，则AD与BE平行且相等，由此证得四边形ABED是平行四边形，而AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得所求的结论；
（2）已知了EC、BE的比例关系，可用未知数表示出BE、EC的长；过D作DF⊥BC于F，在Rt△DEF中，易知∠DEF=∠ABC=60°，可用DE（即BE）的长表示出EF、DF，进而表示出FC的长；在Rt△CFD中，根据DF、CF的长，可由勾股定理求出CD的长，进而可根据DE、EC、CD的长由勾股定理证得DE⊥DC．
点评：此题主要考查了梯形的性质、尺规作图-角平分线的作法、菱形的判定和性质、勾股定理的应用等知识．