Question

6．如图，已知△ABC，以AC为底边作等腰△ACD，且使∠ABC=2∠CAD，连接BD．
（1）如图1，若∠ADC=90°，∠BAC=30°，BC=1，求CD的长；
（2）如图1，若∠ADC=90°，证明：AB+BC=$\sqrt{2}$BD；
（3）如图2，若∠ADC=60°，探究AB，BC，BD之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质和已知求出CD的长；
（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，证明△AED≌△CFD，得到DE=DF，AE=CF，根据正方形的性质证明结论；
（3）延长BC至G，使CG=AB，证明△DAB≌△DCG，得到△DBG是等边三角形，得到答案．

解答 解：（1）∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠CAD=45°，
∴∠ABC=2∠CAD=90°，又∠BAC=30°，
∴AC=2BC=2，
∴CD=AC×sin∠CAD=$\sqrt{2}$；
（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠CAD=45°，
∴∠ABC=2∠CAD=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠FCD，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FCD}\\{∠AED=∠CFD}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD，
∴DE=DF，AE=CF，
∵四边形DEBF是矩形，DE=DF，
∴四边形DEBF是正方形，
∴BE=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，又AE=CF，
∴AB+BC=BE+BF=$\sqrt{2}$BD；
（3）BD=AB+BC．
延长BC至G，使CG=AB，
∵∠ADC=60°和等腰△ACD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ABC=2∠CAD=120°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠GCD，
在△DAB和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠DAB=∠DCG}\\{AB=CG}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△DCG，
∴DB=DG，∠CDG=∠ADB，又∠ADB+∠BDC=60°，
∠CDG+∠BDC=60°，
∴△DBG是等边三角形，
∴BD=BG=AB+BC．

点评 本题考查的是正方形、等腰直角三角形、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键．