Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=2，以AB为直径作⊙O，P为线段AB延长线上一动点．连接PC，将△CBP绕点C逆时针旋转90°的到△CAD．
（1）如图1所示，证明：AD为⊙O的切线．
（2）当BP=OB时，如图2所示，证明：AB平分线段CD．
（3）当BP=t•OB时（t?1）时，讨论以BP为半径的⊙B和⊙O位置关系，并求出相应t的取值范围．
（4）当BP=2OB时，请连接PD，试判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由．   

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得CB=CA，∠CBA=∠CAB=45°，则由三角形外角性质得∠P+∠PCB=45°，再根据旋转的性质得∠PCB=∠DCA，∠P=∠D，则∠D+∠DCA=45°，于是根据三角形内角和定理可得到∠OAD=90°，然后根据切线的判定定理即可AD为⊙O的切线；
（2）连结OC，CD与AB交于Q，由AB为⊙O的直径和等腰直角三角形的性质得OC⊥AB，OC=OB，再根据旋转的性质得PB=AD，而BP=OB，于是OC=AD，则可根据“AAS”可判断△COQ≌△DAQ，所以CQ=DQ；
（3）根据圆与圆的位置关系得到当⊙B与⊙O相交时，OB＜BP＜2OB；当⊙B与⊙O内切时，BP=2OB；当⊙B与⊙O内含时，OB＜BP＜2OB，然后把PB=t•OB代入可分别得到t的取值范围或值；
（4）作OH⊥PD于H，设⊙O的半径为R，易得BP=2OB=2R，AD=2R，PA=4R，利用勾股定理可计算出PD=2

5

R，再证明Rt△POH∽Rt△PDA，利用相似比可得到OH=

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5

R，所以OH＞R，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法得到直线PD与⊙O相离．

解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠P+∠PCB=∠CBA=45°，
∵△CBP绕点C逆时针旋转90°得到△CAD，
∴∠PCB=∠DCA，∠P=∠D，
∴∠D+∠DCA=45°，
∴∠D+∠DCA+∠CAB=90°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD为⊙O的切线；
（2）证明：连结OC，CD与AB交于Q，如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB为⊙O的直径，
∴OC⊥AB，OC=OB，
而AD⊥AD，
∴∠COQ=∠DAQ=90°，
∵△CBP绕点C逆时针旋转90°得到△CAD，
∴PB=AD，
而BP=OB，
∴OC=AD，
在△COQ和△DAQ中，

∠COQ=∠DAQ ∠CQO=∠DQA CO=DA

，
∴△COQ≌△DAQ（AAS），
∴CQ=DQ，
即AB平分线段CD；

（3）当⊙B与⊙O相交时，OB＜BP＜2OB，即OB＜t•OB＜2OB，所以1＜t＜2；
当⊙B与⊙O内切时，BP=2OB，即t•OB=2OB，即t=2；
当⊙B与⊙O内含时，OB＜BP＜2OB，即OB＜t•OB＜2OB，所以t＞2；

（4）直线PD与⊙O相离．理由如下：
作OH⊥PD于H，设⊙O的半径为R，如图3，
∵BP=2OB=2R，
∴AD=PB=2R，PA=4R，
∴PD=

PA2+AD2

=2

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R，
∵∠OPH=∠DPA，
∴Rt△POH∽Rt△PDA，
∴OH：AD=PO：PD，即OH：2R=3R：2

5

R，
∴OH=

3 5

5

R＞R，
∴直线PD与⊙O相离．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及判定方法；学会运用勾股定理和相似比进行几何计算；同时理解等腰直角三角形的性质和旋转的性质．