Question

（1）如果

2x+1

x-1

=2+

m

x-1

，求常数m的值；
（2）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，请你求出函数y=

2x+1

x-1

的图象上所有整点的坐标；
（3）我们知道一次函数y=x+2的图象可以由函数y=x的图象向左平移2个单位得到，那么函数y=

2x+1

x-1

的图象可以由函数y=

m

x

经过怎样的平移得到？

Answer 1

分析：（1）方程两边同乘x-1，把分式方程转化为整式方程，整理即可求出常数m的值；
（2）把所给函数解析式化为整式，进而整理为两数积的形式，根据整点的定义判断积的可能的形式，找到整点的个数即可；
（3）首先把函数解析式变为y=

3

x-1

+2的形式，再根据双曲线平移k值不变，利用“左减右加，上加下减”的规律即可求解．

解答：解：（1）去分母，得2x+1=2（x-1）+m，
化简得：m=3；

（2）将函数表达式变形，得xy-y=2x+1，
xy-2x-y+2=3，
x（y-2）-（y-2）=3，
（x-1）（y-2）=3．
∵x，y都是整数，
∴（x-1），（y-2）也是整数．
∴

x-1=1 y-2=3

或

x-1=-1 y-2=-3

或

x-1=3 y-2=1

或

x-1=-3 y-2=-1

，
解得

x=2 y=5

或

x=0 y=-1

或

x=4 y=3

或

x=-2 y=1

．
∴解得的整点为：（-2，1），（0，-1），（2，5），（4，3）；

（3）∵y=

2x+1

x-1

=

2(x-1)+3

x-1

=

3

x-1

+2，
∴由函数y=

3

x

的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即可得到函数y=

2x+1

x-1

的图象．

点评：本题考查分式方程的解法，函数图象上整点的求法，图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．