如图.在平面直角坐标系中.直线l平行x轴.交y轴于点A.第一象限内的点B在l上.连结OB.动点P满足∠APQ=90°.PQ交x轴于点C．(1)当动点P与点B重合时.若点B的坐标是(2.1).求PA的长．(2)当动点P在线段OB的延长线上时.若点A的纵坐标与点B的横坐标相等.求PA:PC的值．(3)当动点P在直线OB上时.点D是直线OB与直线CA的交点.点E是直线CP与y轴的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的判定与性质,平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）易得点P的坐标是（2，1），即可得到PA的长．
（2）易证∠AOB=45°，由角平分线的性质可得PM=PN，然后通过证明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．
（3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值．

解答：解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），
∴点P的坐标是（2，1）．
∴PA的长为2；

（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．

∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，
∴OA=AB．
∵∠OAB=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°．
∵∠AOC=90°，
∴∠POC=45°．
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．
∴∠NPM=90°．
∵∠APC=90°．
∴∠APN=90°-∠APM=∠CPM．
在△ANP和△CMP中，

∠APN=∠CPM

PN=PM

∠ANP=∠CMP

，
∴△ANP≌△CMP．
∴PA=PC．
∴PA：PC的值为1：1；

（3）①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图2所示．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP∽△CMP．
∴

．
∵∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AP⊥PC，
∴EP=CP．
∵PM∥y轴，
∴AF=CF，OM=CM．
∴FM=

OA．
设OA=x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA．
∴

，
∵PD=2OD，
∴PF=2OA=2x，FM=

x．
∴PM=

x．
∵∠APC=90°，AF=CF，
∴AC=2PF=4x．
∵∠AOC=90°，
∴OC=

x．
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，
∴四边形PMON是矩形．
∴PN=OM=

x．
∴PA：PC=PN：PM=

x：

．
②若点P在线段OB的反向延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图3所示．

同理可得：PM=

x，CA=2PF=4x，OC=

x．
∴PN=OM=

OC=

x．
∴PA：PC=PN：PM=

x：

．
综上所述：PA：PC的值为

或

．

点评：本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，综合性非常强．

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