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19.已知二次函数h=x2-(2m-1)x+m2-m(m是常数,且m≠0)
(1)证明:不论m取何值时,该二次函数图象总与x轴有两个交点;
(2)若A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)是该二次函数图象上的两个不同点,求二次函数解析式和m的值;
  (3)设二次函数h=x2-(2m-1)x+m2-m与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2(其中x1>x2),若y是关于m的函数,且y=2-$\frac{2{x}_{2}}{{x}_{1}}$,请结合函数的图象回答:当y<m时,求m的取值范围.

分析 (1)由抛物线与x轴有两个交点可知△>0,根据△=b2-4ac即可得到关于m的不等式,判断出△的取值范围即可;
(2)根据A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)是该二次函数图象上的两个不同点,可以求出抛物线的对称轴,进而求出m的值和二次函数的解析式;
(3)首先令h=x2-(2m-1)x+m2-m=0,求出x1=m,x2=m-1,然后得到y与m的关系式,画出图象,结合图象进行作答.

解答 解:(1)由题意有△=[-(2m-1)]2-4(m2-m)=1>0.
即不论m取何值时,该二次函数图象总与x轴有两个交点;
(2)∵A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)是该二次函数图象上的两个不同点,
∴抛物线的对称轴x=$\frac{n-3-n+1}{2}$=-1,
∴$\frac{2m-1}{2}$=-1,
∴m=-$\frac{1}{2}$,
∴抛物线解析式为h=x2+2x+$\frac{3}{4}$;
(3)令h=x2-(2m-1)x+m2-m=0,
解得x1=m,x2=m-1,
即y=2-$\frac{2{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2}{m}$,
作出图象如右:
当$\frac{2}{m}$=m时,
解得m=$±\sqrt{2}$,
当y<m时,m的取值范围为m>$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$<m<0.

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点,根的判别式,解答此题的关键是利用数形结合的思想画出函数图象,再根据函数图象直接解答.

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