Question

某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，若每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系y=kx+b
（1）确定y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）为了使每月获得利润为1800元，问商品应定为每件多少元？
（3）为了获得了最大的利润，商品应定为每件多少元？

Answer 1

分析：（1）设出一次函数解析式y=kx+b，用待定系数法求解即可．
（2）设每月获得利润P，则p=（x-16）y，由（1）可知y=-30x+960（16≤x≤32），所以可求出每月获得利润为1800元时，商品应定为每件多少元；
（3）按照等量关系“每月获得的利润=（销售价格-进价）×销售件数”列出二次函数，并求得最值．

解答：解：（1）依题意设y=kx+b，则有

360=20k+b 210=25k+b

，
解得k=-30，b=960，
∴y=-30x+960（16≤x≤32）；

（2）设每月获得利润P，则p=（x-16）y，
∴P=（-30x+960）（x-16），
当每月获得利润为1800元，
即（-30x+960）（x-16）=1800，
x²-48x+572=0，
解得：x₁=22，x₂=26，
∴当每月获得利润为1800元时，商品应定为每件22元或26元；

（3）∵获得利润P=（-30x+960）（x-16）
=30（-x+32）（x-16）
=30（-x²+48x-512）
=-30（x-24）²+1920，
∴当x=24时，P有最大值，最大值为1920．
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．

点评：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．