Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．
（1）求证：AH=HD；
（2）若cos∠C=

4

5

，DF=9，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC，
∴AB⊥CD，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵EG⊥BC，
∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CBE=∠CEG，
∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，
∴∠CDA=∠DEH，
∴HD=EH，
∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，
∴AH=EH，
∴AH=HD；

（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠DBF=∠C，
∵cos∠C=

4

5

，DF=9，
∴tan∠DBF=

3

4

，
∴BD=

DF

tan∠DBF

=12，
∵∠A=∠C，
∴sin∠A=

3

5

，
∴AB=

BD

sin∠A

=20，
∴⊙O的半径为10．