Question

讨论下列问题的解答：
（1）平面内有n个点（n≥2），其中任意三个点都不在同一条直线上，过这些点中的每两个作直线，一共能作出多少条不同的直线？写出你的思考过程．
（2）平面内有n条直线，每两条直线都相交，且没有三条直线相交于同一点．记这n条直线将这个平面分成的区域数记为a_n，试求出a_n与n之间的关系式．

Answer 1

分析：（1）根据题意每两个点都可以作一条直线，但每一条直线都数了两次，要除以2；
（2）先总结出几种特殊的情况，然后找到规律，得出a_n与n之间的关系式．

解答：解：（1）过两点可以画1条直线，过不在同一直线上的三点可以画3条直线，过任意三个点都不在同一条直线上的四点可以画6条直线，…，过任意三个点都不在同一条直线上的n点可以画

n(n-1)

2

条直线；

（2）1条直线分平面2个区域，即a₁=2，
2条直线分平面4个区域，即a₂=4，
3条直线分平面7个区域，即a₃=7，
那么就出现了一个比较明显的规律，
a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
a₄-a₃=4
…
a_n-a_n-1=n
将上面的所有式子，左边+左边=右边+右边，∵a₁=2，
a_n-a₁=2+3+…+n，即a_n=2+2+3+…+n=1+1+2+3+…+n=1+

n(1+n)

2

=

n2+n+2

2

．

点评：本题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．是规律型的题目，难度较大，一定要认真．