Question

18．如图①，在?ABCD中，AF平分∠BAD，交BC于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）如图②，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的性质再结合平行四边形的性质进而得出AF∥EC，即可得出答案；
（2）直接利用全等三角形的判定与性质得出AO=FO，BO=EO，进而得出答案．

解答 证明：（1）如图①，

∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAE，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠FCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠FCD，AD∥BC，
∴∠FAE=∠FCE，∠FCE=∠CED，
∴∠FAE=∠CED，
∴AF∥EC，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形；

（2）如图②，

由①得，AF∥EC，
∵∠BEC=90°，
∴∠BOA=90°，
在△ABO和△AEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠EAO}\\{AO=AO}\\{∠BOA=∠EOA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△AEO（ASA），
∴BO=EO，
同理可得：△ABO≌△FBO，
∴AO=FO，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又∵AF⊥BE，
∴平行四边形ABFE是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．