【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线EF交AC于点D,交AB于点F,且CE=BF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)当∠BAC的度数为多少时,四边形AECF是正方形.
【答案】(1)证明见详解;(2)∠BAC=45.
【解析】
(1) 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断;
(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45时,∠EAF=90,则菱形AECF为正方形.
证明: (1)
AC的垂直平分线EF交AC于点D
CD=AD,∠ADF=90,EC=AE,CF=AF,
又∠ACB=90°,EF∥BC,
△ADF∽△ACB,
AF:AB=AD:AC, CD=AD,D为AC的中点,
AF:AB=AD:AC=1:2,
F为AB中点,
BF=AF,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, CF=AF,
又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF
CE= CF= AF= AE
四边形BECF是菱形.
(2)当∠BAC=45时, 四边形AECF是正方形.
证明:∠BAC=45,四边形AECF是菱形,
∠EAC=∠BAC=45,
∠EAF =∠EAC+∠BAC =90,
菱形AECF是正方形.
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【题目】如图,某公园内有座桥,桥的高度是5米,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角为45°,为方便老人过桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡度为i= :3.若新坡角外需留下2米宽的人行道,问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽?(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
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【题目】已知二次函数y=x2-4x+3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积.
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【题目】给出下列说法,其中正确的是( )
①关于的一元二次方程,若,则方程一定没有实数根;
②关于的一元二次方程,若,则方程必有实数根;
③若是方程的根,则;
④若,,为三角形三边,方程有两个相等实数根,则该三角形为直角三角形.
A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y=(k≠0)图象交于A、B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,其中A点坐标为(﹣2,3).
(1)求一次函数和反比例函数解析式.
(2)若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F,连接AF、BF,求△ABF的面积.
(3)根据图象,直接写出不等式﹣x+b>的解集.
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【题目】如图,在△ABC中,点D,E,F分别是BC,AB, AC的中点,则下列四个判断中不一定正确的是( )
A. 四边形AEDF一定是平行四边形
B. 若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形
C. 若AD平分∠A,则四边形AEDF是正方形
D. 若AD⊥BC,则四边形AEDF是菱形
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【题目】如图1,矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
(1)求证:△OCP∽△PDA;
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;
(3)如图2,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.探究:当点M、N在移动过程中,线段EF与线段PB有何数量关系?并说明理由.
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【题目】现有一面12米长的墙,某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场ABCD(篱笆只围AB、BC、CD三边),其示意图如图所示.
(1)若矩形养鸡场的面积为92平方米,求所用的墙长AD.(结果精确到0.1米)(参考数据:=1.41,=1.73,=2.24)
(2)求此矩形养鸡场的最大面积.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c满足下表:下列说法:①该函数图像为开口向下的抛物线;②该函数图像的顶点坐标为:(1,3);③方程ax2+bx+c=-2在2与3之间存在一个根;④A(-2018,m),B(2019,n)在该二次函数图像上,则m>n.其中正确的是_______(只需写出序号).
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | -5 | 1 | 3 | 1 | … |
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