Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-8ax交x轴的正半轴于点A，B为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点C，且BC：OA=4：3．
（1）求抛物线解析式；
（2）点D在y轴的正半轴上，点E在线段AD上，射线OE交BC右侧的抛物线于点F，当CE=4，OF=AD时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P在第一象限BC右侧的抛物线上，OP交BC于点G，PH⊥x轴于点H，交AG于点M，交AD于点N，当∠PNA=2∠POA时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出顶点坐标，列出方程即可解决问题．
（2）如图1中，作FM⊥OA于M，证明△AOD≌△FMO，推出FM=OA=8，OD=OM，求出点F坐标即可解决问题．
（3）如图2中，连接DG，首先判断D、O、A、G四点共圆，求出点G坐标，求出直线OG的解析式，列方程组求出点P坐标即可．

解答 解：（1）∵y=ax²-8ax=a（x-4）²-16a，
∴点B坐标为（4，-16a），
∴BC=-16a，
∵OA=8，
∴-16a：8=4：3，
∴a=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x．

（2）如图1中，作FM⊥OA于M，

∵CE=OC=CA=4，
∴△OEA是Rt△，即∠OEA=90°，
∵∠ADO+∠DOE=90°，∠FOM+∠DOE=90°，
∴∠ADO=∠FOM，
在△AOD和△FMO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADO=∠FOM}\\{∠DOA=∠OMF}\\{AD=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△FMO，
∴FM=OA=8，OD=OM，
当y=8时，8=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x解得x=2或6，（2不合题意舍弃），
∴OD=OF=6，
∴点D坐标（0，6）．

（3）如图2中，连接DG．

∵GO=GA，
∴∠GOC=∠ACC，
∵∠PGA=∠GOC+∠GAC=2∠GOC，∠PNA=2∠GOC，
∴∠GPM=∠MAN，
∵PH∥OD，
∴∠DOE=∠OPH=∠MAN，
∴D、O、A、G四点共圆，
∴∠DGA=180°-∠DOA=90°，
∴DE=EA=EG，
∴点G坐标（4，8），
∴直线OG解析式为y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{16}{3}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=10}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（5，10）．

点评 本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质．四点共圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，第三个问题求出点G坐标是关键，属于中考压轴题．