Question

14．一次函数y=$\frac{3}{4}$x+m的图象过点（4，6），且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动．
（1）求m的值；
（2）若过原点O的直线把△AOB的面积分成1：2两部分，求该直线解析式；
（3）已知a=$\frac{3}{4}$b，
①若△POQ的周长是8，求直线PQ的解析式；
②若△APQ是以PQ为一腰的等腰三角形，求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据三等分点坐标公式，可得C₁，C₀的坐标，根据待定系数法，可得答案
（3）①根据勾股定理，可得PQ的长，根据三角形的周长，可得b的值，根据待定系数法，可得答案；
②分类讨论：PQ=AP，PQ=AQ，根据勾股定理，可得关于b的方程，根据解方程，可得Q、P点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 解：（1）将（4，6）点代入函数解析式，得
$\frac{3}{4}$×4+m=6，
解得m=3；
（2）如图1：

直线OC₁把△AOB的面积分成1：2两部分，直线OC₀把△AOB的面积分成1：2两部分，
y=$\frac{3}{4}$x+3，当x=0时，y=3，即B（0，3），当y=0时，x=-4，即A（-4，0）；
由三等分点，得
$\frac{2}{3}$×（-4）=-$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{3}$×3=1，即C₁（-$\frac{8}{3}$，1）；
$\frac{1}{3}$×（-4）=-$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$×3=2，即C₀（-$\frac{4}{3}$，2）；
设OC₁的解析式为y=k₁x，将C₁点坐标代入，得
-$\frac{8}{3}$k₁=1，解得k₁=-$\frac{3}{8}$，
OC₁的解析式为y=-$\frac{3}{8}$x；
设OC₀的解析式为y=k₂x，将C₀（-$\frac{4}{3}$，2）代入函数解析式，得
-$\frac{4}{3}$k₂=2，
解得k₂=-$\frac{3}{2}$，
OC₀的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x；
（3）①由勾股定理，得PQ=$\frac{5}{4}$b，
PQ+OQ+OP=b+$\frac{3}{4}$b+$\frac{5}{4}$b=8，
解得b=$\frac{8}{3}$，a=2，即Q（0，$\frac{8}{3}$），P（2，0），
设PQ的解析式为y=kx+b，将P，Q点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
PQ的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；
②如图2：

当PQ=AP时，$\frac{5}{4}$b=$\frac{3}{4}$b+4，
解得b=8，PQ=AQ=10，即P（6，0），Q（0，8）
S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•OQ=$\frac{1}{2}$×10×8=40；
如图3：

当PQ=AQ时，$\frac{5}{4}$b=$\sqrt{{b}^{2}+{4}^{2}}$，
解得b=$\frac{16}{3}$，b=-$\frac{16}{3}$（不符合题意的解要舍去），即P（4，0），Q（0，$\frac{16}{3}$）．
AP=8．
故S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•OQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×8=$\frac{64}{3}$．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式，（2）利用三等分点坐标公式：两端点的坐标为（x，y），（x₁，y₁），三等分点坐标是（$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$x₁，$\frac{1}{3}$y+$\frac{2}{3}$y₁），（$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$x₁，$\frac{2}{3}$y+$\frac{1}{3}$y₁）是解题关键；（3）利用了三角形的周长公式，三角形的面积公式，分类讨论，以防遗漏．