Question

7．正△ABC的边长是4，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分的面积为S，当2$\sqrt{2}$≤r≤4时，S的取值范围是多少？

Answer 1

分析 首先求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的取值，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．

解答 解：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=2．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-4}$．
设∠DCG=θ，则由题意可得：
S=2（S_扇形CDE-S_△CDG）=2（$\frac{θπ{r}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{{r}^{2}-4}$）=$\frac{θπ{r}^{2}}{180}$-2$\sqrt{{r}^{2}-4}$，
当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大．
当r=2$\sqrt{2}$时，DG=$\sqrt{{r}^{2}-4}$=2，
∵CG=2，
∴θ=45°，
∴S=$\frac{45π×（2\sqrt{2}）^{2}}{180}$-2$\sqrt{（{2\sqrt{2}）}^{2}-4}$=2π-4；
若r=4，则DG=$\sqrt{{r}^{2}-4}$=2$\sqrt{3}$，
∵CG=2，
∴θ=60°，
∴S=$\frac{60π×{4}^{2}}{180}$-2$\sqrt{{4}^{2}-4}$=$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$．
∴S的取值范围是：2π-4≤S＜$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识点．解题关键是求出S的函数表达式，并分析其增减性．