Question

19．在图中的直角梯形中，AC=CD=2AB，∠ACE=∠ECD，△EAF=2∠CAE=2∠FAB，若梯形的面积为60，则阴影部分的面积等于20．

Answer 1

分析 设AB=a，则AC=CD=2a，作AG⊥CD于G，则四边形ABDG是矩形，得出AG=BD，DG=AB=a，求出∠CAG=30°，得出∠ACG=60°，由梯形的性质得出∠BAC=120°，求出∠GCE=30°，得出GE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，由已知条件得出∠CAE=∠FAB=30°，点E在线段AG上，得出BD=AG=$\sqrt{3}$CG=$\sqrt{3}$a，求出BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，由梯形ABDC的面积求出a²，△CGE的面积+梯形AGDF的面积=矩形ABDG的面积=40，即可得出阴影部分的面积．

解答 解：设AB=a，则AC=CD=2a，作AG⊥CD于G，如图所示：
则四边形ABDG是矩形，∠AGC=90°，
∴AG=BD，DG=AB=a，
∴CG=a=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CAG=30°，
∴∠ACG=60°，
∵直角梯形中，AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACG=180°，
∴∠BAC=120°，
∵∠ACE=∠ECD，
∴∠GCE=30°，
∴GE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵∠EAF=2∠CAE=2∠FAB，
∴∠CAE=∠FAB=30°，
∴点E、A、G三点共线，BD=AG=$\sqrt{3}$CG=$\sqrt{3}$a，
∵∠B=90°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵梯形ABDC的面积=$\frac{1}{2}$（a+2a）×$\sqrt{3}$a=60，
解得：a²=$\frac{40\sqrt{3}}{3}$，
∵△CGE的面积+梯形AGDF的面积=矩形ABDG的面积=a•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$a²=$\sqrt{3}$×$\frac{40\sqrt{3}}{3}$=40，
∴阴影部分的面积=梯形ABDC的面积-矩形ABDG的面积=60-40=20．
故答案为：20．

点评 本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定与性质、梯形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，需要作辅助线证明三点共线才能得出结果．