Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-

3

4

x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出

BE

CD

的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，代入直线解析式求出B，C点坐标．联立方程组后可求出点A的坐标．
（2）当△CBD为等腰三角形时，分三种情况讨论（BD₁=D₁C；BC=BD₂；CD₃=BC，或CD₄=BC），依靠辅助线的帮助求出点D的坐标．
（3）本题也要借助辅助线的帮助．分为三种情况讨论（当四边形AE₁OD₁为平行四边形；当四边形AD₂E₁O为平行四边形时；当四边形AOD₁E₂为平行四边形时）．

解答：解：（1）在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）． （1'）
在y=-

3

4

x+3中，当y=0时，-

3

4

x+3=0，∴x=4，点C的坐标为（4，0）． （2分）
由题意，得

y=x+1 y=- 3 4 x+3

解得

x= 8 7 y= 15 7

∴点A的坐标为（

8

7

，

15

7

）．（3分）

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．
由（1），得B（-1，0），C（4，0），∴BC=5．
①当BD₁=D₁C时，过点D₁作D₁M₁⊥x轴，垂足为点M₁，则BM₁=M₁C=

1

2

BC．
∴BM₁=

5

2

，OM₁=

5

2

-1=

3

2

，x=

3

2

．
∴y=-

3

4

×

3

2

+3=

15

8

，点D₁的坐标为(

3

2

，

15

8

)．（4分）
②当BC=BD₂时，过点D₂作D₂M₂⊥x轴，垂足为点M₂，则D₂M₂²+M₂B²=D₂B²，
∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-

3

4

x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-

3

4

x+3）²=5²．
解得x₁=-

12

5

，x₂=4（舍去）．此时，y=-

3

4

×(-

12

5

)+3=

24

5

．
∴点D₂的坐标为(-

12

5

，

24

5

)． （6分）
③当CD₃=BC，或CD₄=BC时，同理可得D₃（0，3），D₄（8，-3）．（9分）
由此可得点D的坐标分别为D₁（

3

2

，

15

8

），D₂（-

12

5

，

24

5

），D₃（0，3），D₄（8，-3）．
评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得（1分），2个点的坐标得（3分），3个点的坐标得（5分），4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）．
①当四边形AE₁OD₁为平行四边形时，

BE1

CD1

=

3 2

20

． （10分）
②当四边形AD₂E₁O为平行四边形时，

BE 1

CD 2

=

2

10

．（11分）
③当四边形AOD₁E₂为平行四边形时，

BE2

CD1

=

27 2

20

．（12分）

点评：本题考查的是二元一次方程组的应用，平行四边形的判定以及线段比的有关知识，难度中上．