如图.直角梯形ABCO的两边OA.OC在坐标轴的正半轴上.BC∥x轴.OA=OC=4.以直线x=1为对称轴的抛物线过A.B.C三点．(1)求该抛物线的函数解析式,(2)已知直线l的解析式为y=x+m.它与x轴交于点G.在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时.如图1.点P是抛物线对称轴与BC的交点.过点P作PH⊥直线l于点H.连结OP.试求△OPH的面积,②当m=-3时.过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；
②当m=-3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①如答图1，作辅助线，利用关系式S_△OPH=S_△OMH-S_△OMP求解；
②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面．

解答：解：（1）由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，则有：

16a+4b+c=0

c=4

，
解得

a=-

b=1

c=4

．
∴抛物线的函数解析式为：y=-

x²+x+4．

（2）①当m=0时，直线l：y=x．
∵抛物线对称轴为x=1，
∴CP=1．
如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．

∴CM=CP=1，
∴OM=OC+CM=5．
S_△OPH=S_△OMH-S_△OMP=

（

OM）²-

OM•CP=

×（

×5）²-

×5×1=

，
∴S_△OPH=

．

②当m=-3时，直线l：y=x-3．
设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，-3）．
假设存在满足条件的点P．
a）当点P在OC边上时，如答图2-1所示，此时点E与点O重合．
设PE=a（0＜a≤4），
则PD=3+a，PF=

PD=

（3+a）．
过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=

PF，∴EN=|PN-PE|=|

PF-PE|．
在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF=

EN2+FN2

PE2-

PE•PF+PF2

．
若PE=PF，则：a=

（3+a），解得a=3（

+1）＞4，故此种情形不存在；
若PF=EF，则：PF=

PE2-

PE•PF+PF2

，整理得PE=

PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；
若PE=EF，则：PE=

PE2-

PE•PF+PF2

，整理得PF=

PE，即

（3+a）=

a，解得a=3．
∴P₁（0，3）．

b）当点P在BC边上时，如答图2-2所示，此时PE=4．
若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，
∵∠OGD=135°，
∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，
设GE=GF=t，则GK=FK=EH=

t，
∴PH=HF=EK=EG+GK=t+

t，
∴PE=PH+EH=t+

t=4，
解得t=4

-4，
则OE=3-t=7-4

，
∴P₂（7-4

，4）
c）∵A（4，0），B（2，4），
∴可求得直线AB解析式为：y=-2x+8；
联立y=-2x+8与y=x-3，解得x=

，y=

．
设直线BA与直线l交于点K，则K（

，

）．
当点P在线段BK上时，如答图2-3所示．
设P（a，8-2a）（2≤a≤

），则Q（a，a-3），
∴PE=8-2a，PQ=11-3a，
∴PF=

（11-3a）．
与a）同理，可求得：EF=

PE2-

PE•PF+PF2

．
若PE=PF，则8-2a=

（11-3a），解得a=1-2

＜0，故此种情形不存在；
若PF=EF，则PF=

PE2-

PE•PF+PF2

，整理得PE=

PF，即8-2a=

•

（11-3a），解得a=3，符合条件，此时P₃（3，2）；
若PE=EF，则PE=

PE2-

PE•PF+PF2

，整理得PF=

PE，即

（11-3a）=

（8-2a），解得a=5＞

，故此种情形不存在．

d）当点P在线段KA上时，如答图2-4所示．
∵PE、PF夹角为135°，
∴只可能是PE=PF成立．
∴点P在∠KGA的平分线上．
设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD=

MN，
由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3-3

）．
又因为G（3，0），
可求得直线MG的解析式为：y=（

-1）x+3-3

．
联立直线MG：y=（

-1）x+3-3

与直线AB：y=-2x+8，
可求得：P₄（1+2

，6-4

）．
e）当点P在OA边上时，此时PE=0，等腰三角形不存在．
综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，3）、（3，2）、（7-4

，4）、（1+2

，6-4

）．

点评：本题是二次函数压轴题，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、勾股定理、角平分线性质等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．第（2）②问中涉及复杂的分类讨论，使得试题的难度较大．

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