Question

（1）已知a、b满足a²-4a-5=0，b²-4b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值
（2）已知a、b满足5a²-4a-3=0，3b²+4b-5=0，且ab≠1，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（1）讨论：当a=b，易得原式=2；当a≠b，则a、b可看作方程x²-4x-5=0的两根，根据根与系数的关系得a+b=4，ab=-5，然后变形原式得到

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

，再利用整体代入方法计算；
（2）先变形3b²+4b-5=0得到5（

1

b

）²-4•

1

b

-3=0，则a和

1

b

可看作方程5x²-4x-3=0的两根，然后根据根与系数的关系求解．

解答：解：（1）当a=b，则原式=1+1=2；
当a≠b，则a、b可看作方程x²-4x-5=0的两根，所以a+b=4，ab=-5，
所以原式=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

16+10

-5

=-

26

5

；

（2）3b²+4b-5=0变形为5（

1

b

）²-4•

1

b

-3=0，
∵ab≠1，
∴a和

1

b

可看作方程5x²-4x-3=0的两根，
所以a•

1

b

=-

3

5

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．