Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．
（1）若AD=1，求点F的坐标．
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点E，G两点，求k值．

Answer 1

分析 （1）过F作FN垂直于x轴，交CB延长线于点M，证得ABD≌△BMF，由全等三角形的性质得到BM=AB=2，FM=AD=1，即可求得结果；
（2）利用AAS得到三角形ABD与三角形BMF全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=FM，进而表示出F坐标，根据B为CM中点，得出G的CF中点，表示出G坐标，进而得出E坐标，把G与E代入反比例解析式求出a的值，确定出E坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．

解答 解：（1）过F作FN⊥x轴，交CB的延长线于点M，
∵∠FBM+∠MBD=90°∠MBD+∠ABD=90°，
∴∠FBM=∠ABD，
∵四边形OABC是正方形，
∴BF=BD，
在△ABD和△BMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BMF}\\{∠ABD=∠MFB}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴ABD≌△BMF，
∴BM=AB=2，FM=AD=1，
∴F（4，3）；

（2）过E作EH⊥x轴，交x轴于点H，
∵∠FBM+∠MBD=90°，∠MBD+∠ABD=90°，
∴∠FBM=∠ABD，
∵四边形BDEF为正方形，
∴BF=BD，
在△ABD和△BMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BMF}\\{∠ABD=MFB}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BMF（AAS），
设AD=FM=a，则有F（4，2+a），C（0，2），
由三角形中位线可得G为CF的中点，
∴G（2，2+$\frac{1}{2}$a），
同理得到△DHE≌△BAD，
∴EH=AD=a，OH=OA+AD+DH=4+a，
∴E（4+a，a），
∴2（2+$\frac{1}{2}$a）=a（4+a），即a²+3a-4=0，
解得：a=1或a=-4（舍去），
∴E（5，1），
把F代入反比例解析式得：k=5．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解一元二次方程，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．