Question

6．如图，正方形ABCD中，AB=8$\sqrt{5}$，E是AD边上一点，F是AB延长线上一点，且DE=BF，连接EF，G是EF的中点，延长CG交AB于点H，H恰好是AB的中点，连接DG，则DG的长是多少？

Answer 1

分析 如图，连接EC，设EF交BC于O，作GM⊥AD于M，交BC于N，作GK⊥CD于K，交AB于L．首先证明△ECF是等腰直角三角形，四边形MDKG，四边形BNGL都是正方形，
再证明△GLH≌△GNO，推出GH=GO，由△GOC∽△BHC，可得$\frac{GC}{OG}$=$\frac{BC}{BH}$由BH=HA，推出$\frac{GC}{OG}$=$\frac{BC}{BH}$=2，由GN∥BH，推出$\frac{CG}{GH}$=$\frac{CN}{BN}$=2，推出GK=DK=CN=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{16\sqrt{5}}{3}$，再利用等腰直角三角形的性质：DG=$\sqrt{2}$GK，即可解决问题．

解答 解：如图，连接EC，设EF交BC于O，作GM⊥AD于M，交BC于N，作GK⊥CD于K，交AB于L．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠A=90°，
∵DE=BF，
∴△CDE≌△CBF，
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠DCB=90°，
∵EG=GF，
∴CG=GE=GF，CG⊥EF，
易知四边形AMGL，四边形MGKD，四边形GKCN，四边形BNGL是矩形，
∴∠MGK=∠EGC=90°，
∴∠MGE=∠KGC，∵∠GME=∠GKC=90°，
∴△GME≌△GKC，
∴GM=GK，
∴四边形MDKG是正方形，
∵KL=MN，
∴GL=GN，
∴四边形BNGL是正方形，
∵∠HGO=∠LGN=90°，
∴∠LGH=∠OGN，∵∠GLH=∠GNO=90°，
∴△GLH≌△GNO，
∴GH=GO，
∵△GOC∽△BHC，
∴$\frac{GC}{OG}$=$\frac{BC}{BH}$，∵BH=HA，
∴$\frac{GC}{OG}$=$\frac{BC}{BH}$=2，
∵GN∥BH，
∴$\frac{CG}{GH}$=$\frac{CN}{BN}$=2，
∴GK=DK=CN=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{16\sqrt{5}}{3}$，
∴DG=$\sqrt{2}$GK=$\frac{16\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，